Chapitre 1 | sitederevisionbrevet

Chapitre I : Nombres entiers et rationnels

I) Division euclidienne
1) Multiples et diviseurs
A est un entier naturel et b un entier naturel non nul

Définitions :
Dire que b est un diviseur de a signifie que a/b est un nombre entier
« b est un diviseur de a » peut se dire « b divise a » ou « a est un multiple de b » ou « a est divisible par b »

Exemples :
4 est un diviseur de 28 car 28/4 = 7
30 n'est pas un multiple de 4 car 30/4 = 7,5

2) Division euclidienne
A est un entier naturel et b un entier naturel non nul

Définition :

Effectuer la division euclidienne de a par b, c'est trouver deux entiers naturels q et r tels que : a = b x q + r avec r < b où q est le quotient (entier) et r le reste de la division euclidienne

II) PGCD de deux entiers naturels

Définitions :

Le PGCD de deux entiers naturels non nuls est leur Plus Grand Diviseur Commun

Remarques :
- a et b étant des entiers naturels
PGCD(a;b) = PGCD(b;a)

-a et b étant des entiers naturels, si b divise a alors PGCD(a;b) = b

Théorème :

Si a >= b alors PGCD(a:b) = PGCD(b;a-b)

Théorème :

Si a >= b alors PGCD(a;b) = PGCD(b;r) où r est le reste de la division euclidienne de a par b

Remarque : Dans cet algorithme, appelé aussi « algorithme d'Euclide », le PGCD est le dernier reste non nul.

III) Fractions irréductibles
1) Nombres premiers entre eux

Définition : Deux entiers naturels non nuls sont premiers entre eux lorsque leurs PGCD = 1, autrement dis, 1 est le seul diviseur commun à ces 2 entiers naturels

2) Fractions irréductibles

Définition : Une fraction est irréductible quand son numérateur et son dénominateur sont premier entre eux.

IV) Le point sur les nombres

Définitions :

Nombres décimaux : Ces nombres ont une écriture décimale qui a un nombre fini de chiffres après la virgule.

Nombres rationnels : Ces nombres peuvent s'écrire sous la forme d'un quotient d'entier.

Nombres irrationnels : Ce sont les nombres qui ne sont pas rationnels.